\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-2cm}
\addtolength\textwidth{3.8cm}
\addtolength\hoffset{0cm}
\addtolength\textheight{5.0cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\usepackage{wasysym}

\newcommand{\kj}{\overline}
\newcommand{\ora}{\overrightarrow}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe I.}
\\\vspace*{1mm}
10. gyakorlat, 2004. november 22.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace{8mm}
\textbf{\LARGE Komplex számok}
\end{center}

\vspace*{5mm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{85}

%\item Bizonyítsuk be, hogy a következő dolgok felcserélhetők:
%\begin{enumerate}
%\item összeadás és konjugálás (azaz ${\kj{z_1}+\kj{z_2}=\kj{z_1+z_2}})$;
%\item szorzás és konjugálás (azaz ${\kj{z_1}\cdot\kj{z_2}=\kj{z_1{\cdot}z_2}}$);
%\item osztás és konjugálás.
%\end{enumerate}

\item Legyen $x=1+2i$ és $y=3+4i$. Számoljuk ki $x+y$, $x-y$, $x\cdot y$ és
$\frac{x}{y}$ értékét.

\item Határozzuk meg $\sqrt{5-12i}$ kanonikus alakját!

\item Oldjuk meg az alábbi egyenleteket:
\begin{enumerate}
\item $z^2+3=0$,
\item $z^2=i|z|$,
\item $z^2=iz$,
\item $|z|=2z+i$,
\item $z^2-5+12i=0$,
\item $z^4-3z^2-1=0$,
\item $z+\kj{z}=2\left|z\right|$,
\item $\kj{z}=z^{2004}$,
\item $z^2-12z+13-4i=0$.
\end{enumerate}

\item Mi a mértani helye a komplex számsíkon az $\frac{1+ti}{1-ti}$ alakú
számoknak, ha $t$ befutja a valós számok halmazát? Ugyanez a kérdés, csak
a vizsgálandó kifejezés legyen most $\frac{1+ti}{t+i}$.

\item Mi $|z|$,\, $|z_1-z_2|$,\, $iz$ geometriai jelentése? Milyen számokat
kapunk, ha az $a+bi$ komplex számnak megfelelő pontot tükrözzük
\begin{enumerate}
\item a valós tengelyre,
\item a képzetes tengelyre,
\item az $y=x$ egyenletű egyenesre?
\end{enumerate}

%\item Jellemezzük azon komplex számokat, melyeknek
%\begin{enumerate}
%\item összege valós,
%\item szorzata valós,
%\item négyzetösszege valós.
%\end{enumerate}

\item Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy $z_1$, $z_2$, $z_3$
egy egyenesbe essenek?

\item Varázsoljuk trigonometrikus alakba az alábbi, kanonikus alakjaikkal
megadott komplex számokat: $1+i$,\, $5-12i$,\, $\sqrt{3}-i$,\,
$\sin\alpha-i\cos\alpha$.

\item Mutassuk meg, hogy egységgyökök szorzata is egységgyök. Mi a feltétele
annak, hogy egységgyökök összege is egységgyök legyen?

\item Van-e a kilencedik egységgyökök között pontosan hat, melyek összege
zérus? És pontosan hét?

\item Bizonyítsuk be, hogy a $2004$. egységgyökök közül kiválasztható
$876$, melyek összege $0$.

\item Mennyi az $n$-edik komplex egységgyökök összege, illetve szorzata?

\item Legyen $z+z^{-1}=2\cos\alpha$. Mennyi $z^{2004}+z^{-2004}$?

\item Egy paralelogramma minden élére kifelé illesztünk egy négyzetet.
Bizonyítsuk be, hogy ezek középpontja is négyzetet alkot.

\item Egy kör alakú mackósajtos dobozban a 6 darab egyforma körcikk alakú
sajtból már csak 3 maradt, úgy, hogy mindhárom sajt csúcsa a doboz
középpontjában van, de egyébként tetszőlegesen helyezkednek el. Igazold,
hogy a szomszédos sajtok közötti üres terület íves oldalainak egymás felé
néző végpontjait összekötő szakaszok felezőpontjai szabályos háromszöget
alkotnak.

\item Hol van a hiba a következő „levezetésben”?
$\quad 1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=i \cdot i=-1$

\end{enumerate}

\end{document}
