\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{-1.1cm}
\setlength\evensidemargin{-1.1cm}
\setlength\topmargin{-2.6cm}
\addtolength\textwidth{6cm}
\addtolength\hoffset{0cm}
\addtolength\textheight{5.5cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\newcommand{\ve}{\underline}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe I.}
\\\vspace*{1mm}
8–9. gyakorlat, 2004. november 8., 15.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace{8mm}
\textbf{\LARGE Lineáris leképzések és transzformációk}
\\\vspace*{4mm}
\textbf{\LARGE Sajátdolgok}
\end{center}

\vspace*{5mm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{73}

\item Adjuk meg a $p$ valós paraméter függvényében a
$\left(\begin{array}{ccc}
2 & 4 & 2p \\
1 & p & 2
\end{array}\right)$
mátrixú lineáris leképezés képterét és magterét.

\item Vizsgáljuk a háromdimenziós tér alábbi transzformációit. Lineárisak-e?
Ha igen, írjuk fel a mátrixukat, illetve határozzuk meg a képterüket és
magterüket, valamint ezek dimenzióját is.
\begin{enumerate}
\item Az identitás-transzformáció.
\item A zérus-transzformáció.
\item A $z$ tengely körüli 90 fokos elforgatás.
\item Az $y$ tengely körüli $\alpha$ szögű elforgatás.
\item Az $x$ tengelyre való vetítés.
\item Az $y$–$z$ síkra való vetítés.
\end{enumerate}

\item A legfeljebb tizedfokú valós együtthatós polinomok körében
értelmezett deriválásnak, mint lineáris transzformációnak mi a képtere
illetve magtere?

\item Igazoljuk, hogy bármely $A$ lineáris leképezés esetén tetszőleges
$\ve{u},\ve{v}$ vektorokra $A(\ve{u})=A(\ve{v})$ akkor és
csak akkor igaz, ha $\ve{u}-\ve{v}\in Ker A$.

\item Legyen az $A$ mátrix által a $V$ vektortéren megvalósított lineáris
transzformáció olyan, hogy $Ker A$ tartalmazza $Im A$-t. Mutassuk meg,   
hogy ekkor $A^2=0$.

\item Keressünk olyan másodrendű valós mátrixot, amelynek négyzete a
nullmátrix.

\item Legyenek $A$ és $B$ egy vektortér olyan lineáris transzformációi,
amelyekre $AB$ az identitás. Igaz-e, hogy $BA$ is az identitás?

\item Adjuk meg a következő mátrix sajátértékeit, -vektorait és -altereit.
\vspace{-0.3cm}
\begin{center}
 $\left(
 \begin{array}{ccc}
  0 & 0 & -2 \\
  3 & -2 & -3 \\
  6 & -6 & 1
 \end{array}
 \right)$
\end{center}

\item Tekintsük a legfeljebb hatodfokú $p(x)$ polinomok vektorterét. 
Határozzuk meg az ebben a vektortérben értelmezett következő lineáris
transzformációk sajátdolgait. 

\begin{enumerate}

\item $f(x) \rightarrow 0$
\item $f(x) \rightarrow f'(x)$
\item $f(x) \rightarrow x f'(x)$

\end{enumerate}

\item A négyzetes $A$ mátrixra $A=A^3$. Bizonyítsuk be, hogy $A$-nak van
sajátvektora, és sajátértékei csak a $-1$, $0$, $1$ lehetnek.

\item Tekintsük azt a lineáris transzformációt, amely a négydimenziós tér
bázisvektorait ciklikusan egymásba viszi át. Mik ennek a transzformációnak
a sajátdolgai?

\item Számítsuk ki $A^k$ jobboldali sajátértékeit és sajátvektorait minden
$1 \leq k \leq n-1$ esetére, ha $A$-ra teljesül, hogy
$A\cdot\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}0 \\ x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1}\end{array}\right)$. \\

\end{enumerate}
\end{document}
