Bevezetés a számításelméletbe I.

8–9. gyakorlat, 2004. november 8., 15.

                                          Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Lineáris leképzések és transzformációk

Sajátdolgok

74. Adjuk meg a p valós paraméter függvényében a ( \begin{matrix}2 & 4 & 2p \\ 1 & p & 2 \end{matrix} ) mátrixú lineáris leképezés képterét és magterét.

75. Vizsgáljuk a háromdimenziós tér alábbi transzformációit. Lineárisak-e? Ha igen, írjuk fel a mátrixukat, illetve határozzuk meg a képterüket és magterüket, valamint ezek dimenzióját is.

(a) Az identitás-transzformáció.

(b) A zérus-transzformáció.

(c) A z tengely körüli 90 fokos elforgatás.

(d) Az y tengely körüli α szögű elforgatás.

(e) Az x tengelyre való vetítés.

(f) Az y–z síkra való vetítés.

76. A legfeljebb tizedfokú valós együtthatós polinomok körében értelmezett deriválásnak, mint lineáris transzformációnak mi a képtere illetve magtere?

77. Igazoljuk, hogy bármely A lineáris leképezés esetén tetszőleges \underline{u}, \underline{v} vektorokra A(\underline{u}) = A(\underline{v}) akkor és csak akkor igaz, ha \underline{u} − \underline{v} ∈ KerA.

78. Legyen az A mátrix által a V vektortéren megvalósított lineáris transzformáció olyan, hogy KerA tartalmazza ImA-t. Mutassuk meg, hogy ekkor A^{2} = 0.

79. Keressünk olyan másodrendű valós mátrixot, amelynek négyzete a nullmátrix.

80. Legyenek A és B egy vektortér olyan lineáris transzformációi, amelyekre AB az identitás. Igaz-e, hogy BA is az identitás?

81. Adjuk meg a következő mátrix sajátértékeit, -vektorait és -altereit.

( \begin{matrix}0 & 0 & −2 \\ 3 & −2 & −3 \\ 6 & −6 & 1 \end{matrix} )

82. Tekintsük a legfeljebb hatodfokú p(x) polinomok vektorterét. Határozzuk meg az ebben a vektortérben értelmezett következő lineáris transzformációk sajátdolgait.

(a) f(x) → 0

(b) f(x) → f′(x)

(c) f(x) → xf′(x)

83. A négyzetes A mátrixra A = A^{3}. Bizonyítsuk be, hogy A-nak van sajátvektora, és sajátértékei csak a −1, 0, 1 lehetnek.

84. Tekintsük azt a lineáris transzformációt, amely a négydimenziós tér bázisvektorait ciklikusan egymásba viszi át. Mik ennek a transzformációnak a sajátdolgai?

85. Számítsuk ki A^{k} jobboldali sajátértékeit és sajátvektorait minden 1 ≤ k ≤ n − 1 esetére, ha A-ra teljesül, hogy

A · ( x_{1} ; x_{2} ; ⋮ ; x_{n} ) = ( 0 ; x_{1} ; ⋮ ; x_{n−1} ).