\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-2.5cm}
\addtolength\textwidth{4.8cm}
\addtolength\hoffset{-0.5cm}
\addtolength\textheight{5.5cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\usepackage{amssymb}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe I.}
\\\vspace*{1mm}
6–7. gyakorlat, 2004. október 25., 28.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace{11mm}
\textbf{\LARGE Mátrixok}
\end{center}

\vspace*{1cm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{60}

\item Legyen $a=(1,2,3)$, $b=(2,-1,3)$ és $c=(-1,2,-3)$. Számoljuk ki az
$ab$, $bc$ és $ca$ skaláris szorzatokat, az $a\times b$, $b\times c$ és
$c\times a$ vektoriális szorzatokat, valamint az $abc$ vegyesszorzatot.

\item Megoldható-e a kétszer kettes valós mátrixok körében az $X^2=-I$
egyenlet?

\item Igaz-e, hogy ha az $n\times n$-es méretű $A$ és $B$ mátrixoknak
létezik inverze, akkor $AB$-nek is létezik?

\item Legyen $A$ egy $n\times n$-es invertálható mátrix, $B$ pedig egy olyan
$n\times n$-es mátrix, amelyre $AB=0$. Igazoljuk, hogy ekkor $B=0$.

\item Bizonyítandó, hogy ha $A$ és $B$ $n$-edrendű kvadratikus (vagyis
$n\times n$-es négyzetes) felcserélhető (tehát $AB=BA$) és invertálható
mátrixok, akkor $A^{-1}=B^{-1}A^{-1}B$.

\item Mutassuk meg, hogy tetszőleges szigorú felső háromszögmátrixnak
valamelyik pozitív egész kitevős hatványa nullmátrix.

%\item Egy $100\times 100$-as $\mathbb{R}$ feletti mátrix rangja $50$.
%Elérhető-e mindig egy alkalmas elem meg\-vál\-toz\-ta\-tá\-sá\-val, hogy a
%rang $49$-re, illetve $51$-re változzon?

\item Adjuk meg az összes olyan $B$ mátrixot, amire az
$$A=\left( \begin{tabular}{cc} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{tabular} \right)$$
mátrix esetén $AB=BA$ teljesül.

\item Mutassuk meg, hogy ha $A$ kvadratikus és $E$ ugyanolyan rendű
egységmátrix, továbbá valamely $k$ egészre $A^k$ zérusmátrix, akkor $E-A$
invertálható.

%\item Mennyi lehet az $A$ mátrix determinánsa, ha tudjuk, hogy $5A-A^2=6E$,
%ahol $E$ az egységmátrixot jelöli?
% XXX ez hogy van???

\item Adjuk meg az alábbi mátrix 2004. hatványát:
$$\left( \begin{tabular}{cc} 5 & 7 \\ -3 & -5 \end{tabular} \right)$$

\item Tetszőleges valós $t$ és pozitív egész $k$ számra számoljuk ki az
alábbi mátrixot:
$$\left( \begin{tabular}{cc} 1 & t \\ 0 & 2 \end{tabular} \right)^k$$

\item Bizonyítsuk be, hogy ha a kvadratikus $A$ mátrixra és a vele azonos
rendű $E$ egység- és $0$ zérusmátrixra $A^2+A+E=0$, akkor $A$ nem
szinguláris. Számítsuk ki $A^{2004}$-t.

\item Határozzuk meg az alábbi mátrixok rangját, és – ha van – az inverzét.
\vspace{-0.3cm}
\begin{center}
 \begin{tabular}{ccccccc}
  $\left(
  \begin{tabular}{ccc}
   3 & 1 & 15 \\
   6 & 2 & 10 \\
   -9 & -3 & 15
  \end{tabular}
  \right)$ &
  \hspace{1cm} &
  $\left(
  \begin{tabular}{ccc}
   2 & 3 & 7 \\
   8 & 5 & 6 \\
   10 & 1 & -9
  \end{tabular}
  \right)$ &
  \hspace{1cm} &
  $\left(
  \begin{tabular}{ccc}
   1 & 2 & 5 \\
   8 & 3 & 4 \\
   7 & 9 & 6
  \end{tabular}
  \right)$ &
  \hspace{1cm} &
  $\left(
  \begin{tabular}{cccc}
   1 & 4 & 9 & 16 \\
   4 & 9 & 16 & 25 \\
   9 & 16 & 25 & 36 \\
   16 & 25 & 36 & 49
  \end{tabular}
  \right)$
 \end{tabular}
\end{center}

%\item Kiszámítandó az $s$ és $t$ paraméterek értéke úgy, hogy az alábbi
%lineáris egyenletrendszernek egy\-ér\-tel\-mű megoldása
%legyen.\vspace{-0.6cm}
%\begin{center}
% \begin{tabular}{rcl}
%  $sx+tz$ & $=$ & $2$ \\
%  $sx+sy+4z$ & $=$ & $4$ \\
%  $sy+2z$ & $=$ & $t$
% \end{tabular}
%\end{center}

\item Igaz-e, hogy ha $A$, $B$ és $C$ $n\times n$-es mátrixok, $A\neq 0$,
valamint $AB=AC$, akkor $B=C$?

\item Legyen $A$ egy $6\times 5$-ös mátrix. Melyek igazak az
alábbi állítások közül?
\begin{enumerate}
\item Ha az első 3 sor lineárisan összefüggő, akkor a bal felső $3\times
3$-as aldetermináns 0.
\item Ha a bal felső $3\times3$-as aldetermináns 0, akkor az első 3 sor
lineárisan összefüggő.
\item Ha az első 3 oszlop lineárisan összefüggő, és az utolsó 3 oszlop is
lineárisan összefüggő, akkor $r(A)\le 3$.
\item  Ha az első 2 oszlop lineárisan összefüggő, és az utolsó 2 oszlop is
lineárisan összefüggő, akkor $r(A)\le 3$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace*{1.0cm}

\hskip-1cm\textsf{Extra gyakorlat: csütörtök 15.00, I.B.141}

\end{document}
