Bevezetés a számításelméletbe I.

6–7. gyakorlat, 2004. október 25., 28.

                                      Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Mátrixok

61. Legyen a = (1, 2, 3), b = (2, −1, 3) és c = (−1, 2, −3). Számoljuk ki az ab, bc és ca skaláris szorzatokat, az a × b, b × c és c × a vektoriális szorzatokat, valamint az abc vegyesszorzatot.

62. Megoldható-e a kétszer kettes valós mátrixok körében az X^{2} = −I egyenlet?

63. Igaz-e, hogy ha az n × n-es méretű A és B mátrixoknak létezik inverze, akkor AB-nek is létezik?

64. Legyen A egy n×n-es invertálható mátrix, B pedig egy olyan n×n-es mátrix, amelyre AB = 0. Igazoljuk, hogy ekkor B = 0.

65. Bizonyítandó, hogy ha A és B n-edrendű kvadratikus (vagyis n × n-es négyzetes) felcserélhető (tehát AB = BA) és invertálható mátrixok, akkor A^{−1} = B^{−1}A^{−1}B.

66. Mutassuk meg, hogy tetszőleges szigorú felső háromszögmátrixnak valamelyik pozitív egész kitevős hatványa nullmátrix.

67. Adjuk meg az összes olyan B mátrixot, amire az

A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ -1 & 0 \end{matrix} )

mátrix esetén AB = BA teljesül.

68. Mutassuk meg, hogy ha A kvadratikus és E ugyanolyan rendű egységmátrix, továbbá valamely k egészre A^{k} zérusmátrix, akkor E − A invertálható.

69. Adjuk meg az alábbi mátrix 2004. hatványát:

( \begin{matrix}5 & 7 \\ -3 & -5 \end{matrix} )

70. Tetszőleges valós t és pozitív egész k számra számoljuk ki az alábbi mátrixot:

( \begin{matrix}1 & t \\ 0 & 2 \end{matrix} )^{k}

71. Bizonyítsuk be, hogy ha a kvadratikus A mátrixra és a vele azonos rendű E egység- és 0 zérusmátrixra A^{2} + A + E = 0, akkor A nem szinguláris. Számítsuk ki A^{2004}-t.

72. Határozzuk meg az alábbi mátrixok rangját, és – ha van – az inverzét.

( \begin{matrix}3 & 1 & 15 \\ 6 & 2 & 10 \\ -9 & -3 & 15 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}2 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 6 \\ 10 & 1 & -9 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 5 \\ 8 & 3 & 4 \\ 7 & 9 & 6 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 4 & 9 & 16 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 9 & 16 & 25 & 36 \\ 16 & 25 & 36 & 49 \end{matrix} )

73. Igaz-e, hogy ha A, B és C n × n-es mátrixok, A ≠ 0, valamint AB = AC, akkor B = C?

74. Legyen A egy 6 × 5-ös mátrix. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

(a) Ha az első 3 sor lineárisan összefüggő, akkor a bal felső 3 × 3-as aldetermináns 0.

(b) Ha a bal felső 3 × 3-as aldetermináns 0, akkor az első 3 sor lineárisan összefüggő.

(c) Ha az első 3 oszlop lineárisan összefüggő, és az utolsó 3 oszlop is lineárisan összefüggő, akkor r(A) ≤ 3.

(d) Ha az első 2 oszlop lineárisan összefüggő, és az utolsó 2 oszlop is lineárisan összefüggő, akkor r(A) ≤ 3.

Extra gyakorlat: csütörtök 15.00, I.B.141