\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-2.5cm}
\addtolength\textwidth{3.8cm}
\addtolength\hoffset{0cm}
\addtolength\textheight{5.5cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\usepackage{amssymb}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe I.}
\\\vspace*{1mm}
5. gyakorlat, 2004. október 18.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace*{11mm}
\textbf{\LARGE Determinánsok}
\end{center}

\vspace*{1cm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{49}

\item Határozzuk meg a következő permutációkban az inverziók számát!
\\(a) $5,2,4,1,6,3 \qquad$ (b) $100,99,98, \dots,1 \qquad$ (c) $2,3,\dots,100,1$

\item Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsát.

\hspace{1cm}
  \begin{tabular}{lllllllll}
    \begin{tabular}{|rr|}
      12 & 13 \\
      14 & 15
    \end{tabular}
    & \hspace{1cm} &
    \begin{tabular}{|rrr|}
      $\sin{x}$ & \hspace{3mm} & $-\cos{x}$ \\
      $\cos{x}$ & \hspace{3mm} & $\sin{x}$
    \end{tabular}
    & \hspace{1cm} &
    \begin{tabular}{|rrr|}
      1 & 2 & 3 \\
      2 & 3 & 1 \\
      3 & 1 & 2
    \end{tabular}
    & \hspace{1cm} &
    \begin{tabular}{|rrr|}
      1 & 7 & -2 \\
      3 & -4 & 1 \\
      11 & 2 & -1
    \end{tabular}
  \end{tabular}
\\ ~ \\
\hspace*{1cm}
  \begin{tabular}{llllll}
    \begin{tabular}{|rrr|}
      1 & 3 & 2 \\
      2 & 3 & 4 \\
      0 & 1 & 5 \\
      1 & 4 & 6
    \end{tabular}
    & \hspace{1cm} &
    \begin{tabular}{|rrrr|}
      1 & 2 & 3 & 4 \\
      0 & 0 & 0 & 0 \\
      3 & 6 & 9 & 2 \\
      8 & 6 & 4 & 2
    \end{tabular}
    & \hspace{1cm} &
    \begin{tabular}{|rrrrr|}
      0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
      0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\
      0 & 0 & 0 & 3 & 7 \\
      9 & 5 & 6 & 8 & 2 \\
      3 & 6 & 5 & 8 & 8
    \end{tabular}
  \end{tabular}

\item Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsát. A mátrix $n\times n$-esek,
  a nem jelzett elemek értéke pedig $0$. \vspace*{2mm} \\
\begin{tabular}{lll}
 \begin{tabular}{rl}
  \vspace{1mm} (a) & $a_{i,i}=1$ \\
  \vspace{1mm} (b) & $a_{i,i}=A$ \\
  \vspace{1mm} (c) & $a_{i,n+1-i}=1$ \\
  \vspace{1mm} (d) & $a_{i,i}=a_{i,i+1}=a_{n,1}=1, \quad n=2k$
 \end{tabular} &
 ~~~~~~~~~~~~ &
 \begin{tabular}{rl}
  \vspace{1mm} (e) & $a_{i,j}=i+j-1$ \\
  \vspace{1mm} (f) & $a_{i,j}=(i+j-1)^2$ \\
  \vspace{1mm} (g) & $a_{i,j}=\min (i,j)$ \\
  \vspace{1mm} (h) & $a_{i,j}={i+j-1 \choose i-1}$
 \end{tabular}
\end{tabular}

\item Mi a kapcsolat egy permutációnak és az inverzének az inverziószáma
között?

\item Egy $n\times n$-es mátrix $(n\geqslant 2)$ minden eleme $\pm{1}$.
Igazoljuk, hogy determinánsa osztható $2^{n-1}$-nel.

\item Megválasztható-e $c$ értéke úgy, hogy az alábbi mátrix
  determinánsa ne nulla legyen? \[\left( \begin{array}{ccccccc} ~ & c & ~ &
      c+1 & ~ & c+2 & ~ \\ ~ & c+3 & ~ & c+4 & ~ & c+5 & ~ \\ ~ & c+6 & ~ & c+7 &
      ~ & c+8 & ~ \end{array} \right)\]

\item Van egy $n\times n$-es mátrixunk, melynek az elemei egy kivételével
  rögzítettek. Igaz-e, hogy az utolsó elem mindig megválasztható úgy, hogy az
  így kitöltött mátrix determinánsa $0$ legyen?

\item A pontos érték meghatározása nélkül mutassuk meg, hogy az alábbi
  determináns értéke nem zérus.
\begin{center}
    \begin{tabular}{|rrrr|}
      1222 & 1492 & 1956 & 1789 \\
      1456 & 1000 & 1867 & 1686 \\
      1848 & 1945 & 1552 & 1640 \\
      1769 & 1514 & 1918 & 1812
    \end{tabular}
\end {center}

\item Legyen ${\bf A}$ egy $n$ sorból és $n$ oszlopból álló
mátrix, a $k$-adik sorának $j$-edik elemét jelölje $a_{kj}$.
Legyen ${\bf B}$ az az $n\times n$-es mátrix, amelyben a $k$-adik
sor $j$-edik eleme $b_{kj}=\frac{k}{j}a_{kj}$ ($1\le k,j \le n$).  
Mennyi ${\bf B}$ determinánsa, ha tudjuk, hogy ${\bf A}$
determinánsa 1?

\item Egy $n\times n$-es mátrix minden eleme egyjegyű, így sorai $n$ jegyű pozitív
  egész számokként is olvashatók. Mi több, az így kapott számok mindegyike
  osztható $2004$-gyel. Igaz-e, hogy a determinánsa is osztható
  $2004$-gyel?\hfill{}({$\star$})

\item Egy $n\times n$-es mátrix minden eleme véletlenszerűen $0$ vagy $1$. Mennyi
  annak a valószínűsége, hogy a mátrix determinánsa
  $0$?\hfill{}({$\star$}{$\star$})
  
\end{enumerate}

\end{document}









