Bevezetés a számításelméletbe I.

5. gyakorlat, 2004. október 18.

                                   Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Determinánsok

50. Határozzuk meg a következő permutációkban az inverziók számát!

(a) 5, 2, 4, 1, 6, 3  (b) 100, 99, 98, …, 1  (c) 2, 3, …, 100, 1

51. Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsát.

12 13 14 15 sin x − cos x

cos x  sin x

1 2 3 2 3 1 3 1 2

1 7 -2 3 -4 1 11 2 -1

1 3 2 2 3 4 0 1 5 1 4 6  1 2 3 4 0 0 0 0 3 6 9 2 8 6 4 2  0 0 0 1 2 0 0 0 2 3 0 0 0 3 7 9 5 6 8 2 3 6 5 8 8

52. Számítsuk ki az alábbi mátrixok determinánsát. A mátrix n × n-esek, a nem jelzett elemek értéke pedig 0.

\begin{matrix}(a) & a_{i,i} = 1 \\ (b) & a_{i,i} = A \\ (c) & a_{i,n+1−i} = 1 \\ (d) & a_{i,i} = a_{i,i+1} = a_{n,1} = 1, n = 2k \end{matrix}  \begin{matrix}(e) & a_{i,j} = i + j − 1 \\ (f) & a_{i,j} = (i + j − 1)^{2} \\ (g) & a_{i,j} = min(i, j) \\ (h) & a_{i,j} = \binom{i+j−1}{i−1} \end{matrix}

53. Mi a kapcsolat egy permutációnak és az inverzének az inverziószáma között?

54. Egy n × n-es mátrix (n ⩾ 2) minden eleme ±1. Igazoljuk, hogy determinánsa osztható 2^{n−1}-nel.

55. Megválasztható-e c értéke úgy, hogy az alábbi mátrix determinánsa ne nulla legyen?

( \begin{matrix}c & c + 1 & c + 2 \\ c + 3 & c + 4 & c + 5 \\ c + 6 & c + 7 & c + 8 \end{matrix} )

56. Van egy n × n-es mátrixunk, melynek az elemei egy kivételével rögzítettek. Igaz-e, hogy az utolsó elem mindig megválasztható úgy, hogy az így kitöltött mátrix determinánsa 0 legyen?

57. A pontos érték meghatározása nélkül mutassuk meg, hogy az alábbi determináns értéke nem zérus.

1222 1492 1956 1789
1456 1000 1867 1686
1848 1945 1552 1640
1769 1514 1918 1812

58. Legyen A egy n sorból és n oszlopból álló mátrix, a k-adik sorának j-edik elemét jelölje a_{kj}. Legyen B az az n × n-es mátrix, amelyben a k-adik sor j-edik eleme b_{kj} = \frac{k}{j} a_{kj} (1 ≤ k, j ≤ n). Mennyi B determinánsa, ha tudjuk, hogy A determinánsa 1?

59. Egy n×n-es mátrix minden eleme egyjegyű, így sorai n jegyű pozitív egész számokként is olvashatók. Mi több, az így kapott számok mindegyike osztható 2004-gyel. Igaz-e, hogy a determinánsa is osztható 2004-gyel? (⋆)

60. Egy n × n-es mátrix minden eleme véletlenszerűen 0 vagy 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a mátrix determinánsa 0? (⋆⋆)