\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-2cm}
\addtolength\textwidth{5.8cm}
\addtolength\hoffset{-1.0cm}
\addtolength\textheight{6cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe I.}
\\\vspace*{1mm}
4. gyakorlat, 2004. október 4.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace*{11mm}
\textbf{\LARGE Lineáris egyenletrendszerek}
\end{center}

\vspace*{1cm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{41}

\item Oldjuk meg a következő egyenletet.
\[ \frac{x-1977}{27}+\frac{x-1979}{25}+\frac{x-1981}{23}+\frac{x-1983}{21}=
\frac{x-27}{1977}+\frac{x-25}{1979}+\frac{x-23}{1981}+\frac{x-21}{1983} \]

%\item Oldjuk meg a Gauss-féle elimináció módszerével a
%következő lineáris egyenletrendszereket. \\ ~ \\
%\begin{tabular}{lllll}
% \begin{tabular}{rrcl}
%  (a) & $a+3b+c+4d$ & $=$ & $-5$ \\
%  & $2a+3b-6c$ & $=$ & $4$ \\
%  & $-a+b+2c-d$ & $=$ & $-6$ \\
%  & $3a+10b+c+d$ & $=$ & $0$
% \end{tabular} & \hspace{0.8cm} &
% \begin{tabular}{rrcl}
%  (b) & $x+2y-z-u+v$ & $=$ & $-1$ \\
%  & $x+2y-z+v$ & $=$ & $1$ \\
%  & $-x-y+z+3u-2v$ & $=$ & $2$ \\
%  & $2x+2y-2z-5u+4v$ & $=$ & $-2$ \\
%  & $3x+7y-3z+u+2v$ & $=$ & $2$
% \end{tabular} & \hspace{0.8cm} &
% \begin{tabular}{rrcl}
%  (c) & $1$ $1$ $2$ $-1$ $3$ & $\,$ & $0$ \\
%  & $1$ $2$ $1$ $3$ $-2$ & $\,$ & $0$ \\
%  & $3$ $3$ $-1$ $2$ $1$ & $\,$ & $0$ \\
%  & $-1$ $1$ $2$ $3$ $-2$ & $\,$ & $0$ \\
%  & $2$ $-1$ $3$ $-2$ $1$ & $\,$ & $0$
% \end{tabular} \\ ~ \\
% \begin{tabular}{rrcl}
%  (d) & $x+9y+2z-5u-3v$ & $=$ & $9$ \\
%  & $2y+3u$ & $=$ & $5$ \\
%  & $-2x-4z+u+6v$ & $=$ & $3$ \\
%  & $3x+5y+6z+6u-9v$ & $=$ & $8$ \\
%  & $8y-6u$ & $=$ & $8$
% \end{tabular} & &
% \begin{tabular}{rrcl}
%  (e) & $a+2b-3c+d+e$ & $=$ & $1$ \\
%  & $a-b+c-3d-2e$ & $=$ & $-1$ \\
%  & $2a+3b-2c+d+4e$ & $=$ & $-1$ \\
%  & $a-2b+2c-d$ & $=$ & $-1$ \\
%  & $-3a+b+c+2d+e$ & $=$ & $1$
% \end{tabular} & &
% \begin{tabular}{rrcl}
%  (f) & $1$ $2$ $-3$ $3$ $1$ & $\,$ & $42$ \\
%  & $2$ $1$ $2$ $1$ $2$ & $\,$ & $-42$ \\
%  & $-1$ $3$ $1$ $2$ $1$ & $\,$ & $-42$ \\
%  & $3$ $0$ $1$ $-1$ $3$ & $\,$ & $84$ \\
%  & $1$ $2$ $-1$ $1$ $-2$ & $\,$ & $-84$
% \end{tabular}
%\end{tabular}

\item Oldjuk meg a Gauss-féle elimináció módszerével a
következő lineáris egyenletrendszereket. \\ ~ \\
\begin{tabular}{l@{\quad}l@{\quad\quad\quad\quad}l@{\quad}l@{\quad\quad\quad\quad}l@{\quad}l}
(a)&
$\begin{array}{r@{\;}c@{\;}l}
2x+4y+6z&=&8\\
x+2y+5z&=&1\\
x+4y+7z&=&2\\
4x-5y+2z&=&5
\end{array}$
&
(b)&
$\begin{array}{r@{\;}c@{\;}l}
x+3y+2z&=&2\\
2x+5y+4z&=&3\\
3x+7y+6z&=&4  
\end{array}$  
&
(c)&
$\begin{array}{r@{\;}c@{\;}l}
x+3y+2z&=&2\\
2x+5y+4z&=&3\\
3x+7y+6z&=&5  
\end{array}$  
\end{tabular} 

\item Határozzuk meg az $a$ és $b$ paraméterek függvényében az
alábbi egyenletrendszer megoldásainak számát.
\begin{center}
 \begin{tabular}{rcl}
  $3x_1-5x_2+16x_3$ & $=$ & $37$ \\
  $x_1+4x_2-ax_3$ & $=$ & $10$ \\
  $-14x_1+bx_2+9x_3$ & $=$ & $8$
 \end{tabular}
\end{center}

\item Adjunk példát olyan 3 ismeretlenes és 5 egyenletből álló
egyenletrendszerre, melynek
\begin{enumerate}
\item nincs megoldása;
\item egyértelmű megoldása van;
\item végtelen sok megoldása van.
\end{enumerate}
Oldjuk meg a feladatot 5 ismertetlenes  és 3 egyenletből álló
egyenletrendszerekkel is!

\item  A $t$ paraméter mely értékeire lesz az alábbi egyenletekkel megadott
síkoknak több mint egy metszéspontja?
\[
\begin{array}{r@{\;}c@{\;}l}
x+2y+z&=&4\\
2x+y+8z&=&5\\
5x+y+tz&=&11
\end{array}
\]

\item
\begin{enumerate}
 \item Adjuk meg $p$ és $q$ értékét úgy, hogy az alábbi síkok
 egy egyenesre illeszkedjenek.
 \begin{center}
  \begin{tabular}{rcl}
   $2x+3y-z$ & $=$ & $6$ \\
   $x-3y+2z$ & $=$ & $5$ \\
   $4x-3y+pz$ & $=$ & $q$
  \end{tabular}
 \end{center}
 \item Most úgy válasszuk meg $p$ és $q$ értékét, hogy a
 síkoknak ne legyen közös pontjuk.
 \item Milyen eset van még?
\end{enumerate}

\item Hány közös pontja van az alábbi síkoknak? \\
\begin{tabular}{lllll}
 (a)
 \begin{tabular}{rcl}
  $x+y+z$ & $=$ & $6$ \\
  $2x+3y-z$ & $=$ & $4$
 \end{tabular} & \hspace{1.5cm} &
 (b)
 \begin{tabular}{rcl}
  $2x+3y-2z$ & $=$ & $4$ \\
  $-3x-4,\!5y+3z$ & $=$ & $-2$
 \end{tabular} & \hspace{1.5cm} &
 (c)
 \begin{tabular}{rcl}
  $x+y+z$ & $=$ & $6$ \\
  $2x+3y-z$ & $=$ & $4$ \\
  $-x-y+2z$ & $=$ & $1$
 \end{tabular}
\end{tabular}

\item Létezik-e olyan egyenes, amely az adott 3 sík mindegyikével
párhuzamos? Ha igen, akkor adjuk meg közülük az origón átmenőt.
\begin{center}
 \begin{tabular}{rcl}
  $2x+4y+3z$ $=$ $1$ \\
  $x+7y+4z$ $=$ $3$ \\
  $3x-5y-z$ $=$ $2$
 \end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}

\end{document}
