Bevezetés a számításelméletbe I.

4. gyakorlat, 2004. október 4.

                                         Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Lineáris egyenletrendszerek

42. Oldjuk meg a következő egyenletet.

\frac{x − 1977}{27} + \frac{x − 1979}{25} + \frac{x − 1981}{23} + \frac{x − 1983}{21} = \frac{x − 27}{1977} + \frac{x − 25}{1979} + \frac{x − 23}{1981} + \frac{x − 21}{1983}

43. Oldjuk meg a Gauss-féle elimináció módszerével a következő lineáris egyenletrendszereket.

(a) \begin{aligned}2x + 4y + 6z & = & 8 \\ x + 2y + 5z & = & 1 \\ x + 4y + 7z & = & 2 \\ 4x − 5y + 2z & = & 5 \end{aligned}  (b) \begin{aligned}x + 3y + 2z & = & 2 \\ 2x + 5y + 4z & = & 3 \\ 3x + 7y + 6z & = & 4 \end{aligned}  (c) \begin{aligned}x + 3y + 2z & = & 2 \\ 2x + 5y + 4z & = & 3 \\ 3x + 7y + 6z & = & 5 \end{aligned}

44. Határozzuk meg az a és b paraméterek függvényében az alábbi egyenletrendszer megoldásainak számát.

\begin{aligned}3x_{1} − 5x_{2} + 16x_{3} & = & 37 \\ x_{1} + 4x_{2} − ax_{3} & = & 10 \\ −14x_{1} + bx_{2} + 9x_{3} & = & 8 \end{aligned}

45. Adjunk példát olyan 3 ismeretlenes és 5 egyenletből álló egyenletrendszerre, melynek (a) nincs megoldása;

(b) egyértelmű megoldása van;

(c) végtelen sok megoldása van.

Oldjuk meg a feladatot 5 ismertetlenes és 3 egyenletből álló egyenletrendszerekkel is!

46. A t paraméter mely értékeire lesz az alábbi egyenletekkel megadott síkoknak több mint egy metszéspontja?

\begin{aligned}x + 2y + z & = & 4 \\ 2x + y + 8z & = & 5 \\ 5x + y + tz & = & 11 \end{aligned}

47. (a) Adjuk meg p és q értékét úgy, hogy az alábbi síkok egy egyenesre illeszkedjenek.

\begin{aligned}2x + 3y − z & = & 6 \\ x − 3y + 2z & = & 5 \\ 4x − 3y + pz & = & q \end{aligned}

(b) Most úgy válasszuk meg p és q értékét, hogy a síkoknak ne legyen közös pontjuk.

(c) Milyen eset van még?

48. Hány közös pontja van az alábbi síkoknak?

(a) \begin{matrix}x + y + z & = & 6 \\ 2x + 3y − z & = & 4 \end{matrix}  (b) \begin{matrix}2x + 3y − 2z & = & 4 \\ −3x − 4,5y + 3z & = & −2 \end{matrix}  (c) \begin{matrix}x + y + z & = & 6 \\ 2x + 3y − z & = & 4 \\ −x − y + 2z & = & 1 \end{matrix}

49. Létezik-e olyan egyenes, amely az adott 3 sík mindegyikével párhuzamos? Ha igen, akkor adjuk meg közülük az

origón átmenőt.

2x + 4y + 3z = 1
x + 7y + 4z = 3
3x − 5y − z = 2