\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{t1enc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[magyar]{babel}
\frenchspacing
\sloppy
\pagestyle{empty}

\setlength\marginparsep{0cm}
\setlength\oddsidemargin{0cm}
\setlength\evensidemargin{0cm}
\setlength\topmargin{-2.5cm}
\addtolength\textwidth{4.2cm}
\addtolength\hoffset{-0.2cm}
\addtolength\textheight{5.5cm}
\setlength\tabcolsep{2pt}
\setlength\arraycolsep{2pt}

\usepackage{amssymb}

\newcommand{\ve}{\underline}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Bevezetés a számításelméletbe I.}
\\\vspace*{1mm}
3. gyakorlat, 2004. szeptember 27.
\\\vspace*{1mm}
{\footnotesize Koblinger Egmont \texttt{<egmont@cs.bme.hu>}}

\vspace*{11mm}
\textbf{\LARGE Vektorterek 2.}
\end{center}

\vspace*{1cm}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{26}

%\item Oldjuk meg a következő egyenletet.
%\[ \frac{x-1977}{27}+\frac{x-1979}{25}+\frac{x-1981}{23}+\frac{x-1983}{21}=
%\frac{x-27}{1977}+\frac{x-25}{1979}+\frac{x-23}{1981}+\frac{x-21}{1983} \]

\item Bizonyítsuk be az alábbi állításokat:
\begin{enumerate}
\item A $\ve{0}$ minden vektorrendszertől függ.
\item Egy vektorrendszer függ bármely őt tartalmazó vektorrendszertől.
\item Egy egyelemű vektorrendszer akkor és csak akkor lineárisan független,
ha nem a $\ve{0}$-ból áll.
\item Minden vektorrendszer összefüggő, amely tartalmazza a $\ve{0}$-t.
\item Minden vektorrendszer összefüggő, amely egy elemet kétszer tartalmaz.
\end{enumerate}

\item
Igazoljuk, hogy egy lineárisan független vektorrendszer tetszőleges
részhalmaza is lineárisan független.

\item
Igazoljuk, hogy egy lineárisan összefüggő vektorrendszerhez néhány vektort
hozzávéve továbbra is lineárisan összefüggő rendszert kapunk.

\item Kifejezhető-e ${\mathbb{R}}^4$-ben a ${\ve{v}}=\pmatrix{2 \cr 2 \cr 2
\cr 2 \cr}$ az ${\ve{a}}=\pmatrix{1 \cr 2 \cr 3 \cr 4
\cr}\!,\;{\ve{b}}=\pmatrix{1 \cr 0 \cr 0 \cr 0 \cr}\!,\; {\ve{c}}=\pmatrix{0
\cr 1 \cr 2 \cr 3 \cr}$
vektorok segítségével?

\item Kifejezhető-e a ${\ve{0}} \in {\mathbb{R}}^4$ az előző példában
definiált ${\ve{v}}$, ${\ve{a}}$, ${\ve{b}}$ és ${\ve{c}}$ vektorok
segítségével?

\item Lineárisan összefüggők-e az $\pmatrix{1 \cr 2 \cr 3 \cr 4}$,
$\pmatrix{2 \cr 0 \cr 0 \cr 4}$, $\pmatrix{0 \cr 9 \cr 2 \cr 7}$,
$\pmatrix{1 \cr 3 \cr 4 \cr 6}$, $\pmatrix{1 \cr 5 \cr 5 \cr 5}$
vektorok?

\item
\begin{enumerate}
\item Legyen $\ve{a}$, $\ve{b}$, $\ve{c}$ egy vektortér lineárisan független
elemhármasa. Lineárisan független-e ebben a térben $\ve{a}+\ve{b}$,
$\ve{b}+\ve{c}$, $\ve{c}+\ve{a}$?

\item Legyenek $\ve{a}$, $\ve{b}$, $\ve{c}$ egy vektortér olyan vektorai,
melyekre $\ve{a}+\ve{b}$, $\ve{b}+\ve{c}$, $\ve{c}+\ve{a}$ lineárisan
függetlenek. Lineárisan független-e ebben a térben $\ve{a}, \ve{b}, \ve{c}$?
\end{enumerate}

%\item Az $\ve{a}$, $\ve{b}$, és $\ve{c}$ vektorok elemei, $V$ pedig altere
%egy vektortérnek, továbbá $\ve{a}+\ve{b}\in{V}$ , $\ve{c}+3\ve{a}\in{V}$,
%de nem igaz, hogy $\ve{b}+2\ve{c}\in{V}$. Mutassuk meg, hogy
%$6\ve{a}+3\ve{b}+\ve{c}\in{V}$, de nem igaz, hogy
%$5\ve{a}+3\ve{b}+\ve{c}\in{V}$.

\item Legyenek $\ve{u}$ és $\ve{v}$ egy vektortér független elemei, és legyenek $a$,
$b$, $c$, $d$ valós számok. Mi a feltétele annak, hogy az $a\ve{u}+b\ve{v}$
és a $c\ve{u}+d\ve{v}$ vektorok is függetlenek legyenek?

\item Bizonyítsuk be, hogy ha a $V$ vektortérben az
$(\ve{a}_1,\ve{a}_2,\ldots,\ve{a}_{k})$ egy
lineárisan független rendszer és a $(\ve{b}_1,\ve{b}_2,\ldots,\ve{b}_{k+1})$
pedig egy generátorrendszer, akkor a két vektorrendszer közül pontosan az
egyik bázist alkot $V$-ben.

\item Legyenek $(\ve{a}_1,\ve{a}_2,\ldots,\ve{a}_{k})$ egy vektortér
lineárisan független vektorai és legyen
$\ve{x}=\sum_{i=1}^{k}{\lambda_{i}\ve{a}_i}$. Bizonyítsuk be, hogy
$\ve{a}_1\in$ $\langle\ve{x},\ve{a}_2,\ldots,\ve{a}_{k}\rangle$ akkor és csak
akkor teljesül, ha $\lambda_1\neq0$!

\item Egy vektortérben az $\ve{a}_1,\ve{a}_2,\ldots,\ve{a}_{k}$ vektorok
is, a $\ve{b}_1,\ve{b}_2,\ldots,\ve{b}_l$ vektorok is külön-külön lineárisan
független rendszert alkotnak. Bizonyítsuk be, hogy ha
$\langle\ve{a}_1,\ve{a}_2,\ldots,\ve{a}_{k}\rangle\cap\langle\ve{b}_1,\ve{b}_2,\ldots,\ve{b}_l\rangle={\{\ve0\}}$
(vagyis a két altér metszete csak a zérus vektorból áll), akkor ez a $k+l$
darab vektor együtt is lineárisan független!

\item Legyenek $\ve{a}$, $\ve{b}$, $\ve{c}$ lineárisan független vektorok
és $\lambda$ skalár egy vektortérben. Elkészítjük az
$\ve{a}+\ve{b}+\ve{c}$,\, $\ve{a}-\ve{b}-\ve{c}$,\, $\ve{b}-\lambda{\ve{c}}$
vektorokat. Határozzuk meg, hogy a $\lambda$ skalár mely értékei mellett
lesz ez utóbbi három vektor lineárisan független és melyeknél összefüggő.

\item Egészítsük ki az $(1,2,3,4)$, $(0,1,2,5)$, $(2,5,8,10)$
vektorrendszert ${\mathbb{R}}^4$ egy bázisává!

\item Generátorrendszert alkotnak-e az
$(1,0,1,0)$, $(0,1,0,1)$, $(2,3,4,1)$, $(3,0,1,2)$, $(1,1,1,1)$, $(1,2,3,4)$
vektorok? Ha igen, válasszunk ki egy bázist belőle!

\item Tudjuk, hogy $\langle\ve{a},\ve{b}\rangle=\langle{\ve{c},\ve{d},\ve{e}}\rangle$.
Lineárisan függetlenek-e az $\{\ve{a},\ve{c},\ve{e}\}$ vektorok?

\end{enumerate}
\end{document}
