Bevezetés a számításelméletbe I.

2. gyakorlat, 2004. szeptember 20.

                                           Koblinger Egmont <egmont@cs.bme.hu>

Koordinátageometria, vektorterek

14. A z mely értékei mellett merőleges az (5, −3, 2) és a (7, 4, z) vektor egymásra?

15. Írjuk fel a (3, 4, 5) ponton átmenő, a 3x + y − 3z = 8 egyenletű síkkal párhuzamos sík egyenletét.

16. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amelyik átmegy az origón és merőleges a (2, 3, 4) vektorra! Írjuk fel az ezzel párhuzamos, (1, 1, 1) pontot tartalmazó síkét is.

17. Egy sík a koordinátatengelyeket a (2, 0, 0), (0, −1, 0), (0, 0, 5) pontokban metszi. Írjuk fel az egyenletét.

18. Határozzuk meg az x + y + z = 5 egyenletű sík és a 2x − y − 2z = 3 egyenletű sík metszésvonalának azt a pontját, amelyik az x és az y tengely által meghatározott síkba esik.

19. Határozzuk meg a háromdimenziós térben az (1, 1, 1) és (2, 2, 4) pontokon átmenő egyenes és a 2x + 3y − z = 2 egyenletű sík metszetét.

20. Határozzuk meg a 3x + 4y + 12z + 25 = 0 sík és a (2, 3, 4) pont távolságát.

21. Legyen a = (7, −5, 1) és b = (8, 13, 6). Bontsuk fel b-t egy a-val párhuzamos és egy a-ra merőleges összetevőre.

22. Vektorteret alkotnak-e az alábbi halmazok (a valós számok, mint skalárhalmaz felett)?

(a) Az összes térvektor,

(b) az összes ax + by = c alakú egyenlet,

(c) az összes n-edfokú egyváltozós polinom,

(d) az összes legfeljebb n-edfokú egyváltozós polinom,

(e) az összes egyváltozós polinom,

(f) a folytonos függvények,

(g) {f : f(5) ≥ 0},

(h) {f : f(5) = f(8)}.

23. A valós számhármasok terében vektorteret alkotnak-e azok az (x_{1}, x_{2}, x_{3}) vektorok, melyekre (a) x_{1} = 2x_{2} − 3x_{3}

(b) x_{1} = 2x_{2} − 3x_{3} + 2

24. V_{1} és V_{2} a V vektortér alterei, milyen feltételek mellett lesz (a) V_{1} ∩ V_{2} altér,

(b) V_{1} ∪ V_{2} altér?

25. Igaz-e, hogy minden véges dimenziós vektortérnek véges sok altere van?

26. Az u, v és w vektorok elemei, W pedig altere egy vektortérnek, továbbá tudjuk, hogy u + v ∈ W, 3u + w ∈ W, de v + 2w ∉ W. Mutassuk meg, hogy 6u + 3v + w ∈ W, de 5u + 3v + w ∉ W.