Zárthelyi feladatok 1999. november 4.

  1. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldásait az $a$ paraméter függvényében!
    \begin{eqnarray*} x - y + z & = & 1 \\ 2 x + y + 5 z & = & 5 \\ x + 3 y + 5 z & = & a \end{eqnarray*}

  2. Határozzuk meg az $x + y + z = 5$ egyenletű sík és a $2 x - y - 2z = 3$ egyenletű sík metszésvonalának azt a pontját, amelyik az $xy$ síkba (vagyis az $x$ tengely és az $y$ tengely által meghatározott síkba) esik!

  3. Az $1,2, \ldots, n$ számok tetszőleges $\sigma$ permutációjához rendeljük hozzá a $J(\sigma)$ számot, ami a $\sigma(1), \sigma(2), \ldots, \sigma(n)$ sorozatban azon elempárok száma, melyek nem állnak inverzióban egymással. Továbbá jelölje $I(\sigma)$ a $\sigma$ permutáció inverzióinak a számát. Mely $n$-ekre létezik olyan $\sigma$ permutáció, hogy $I(\sigma) = J(\sigma)$ ?

  4. Az $n \times n$-es $A$ mátrix minden eleme páros szám. Tudjuk, hogy $A$ determinánsa osztható 64-gyel, de nem osztható 128-cal. Adjuk meg $n$ összes lehetséges értékét!

  5. Határozzuk meg az alábbi mátrix inverzét!

    \begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & \frac{1}{2} \end{array}\right) \end{displaymath}

  6. Legyen $A$ egy $n \times n$-es invertálható mátrix, $B$ pedig egy olyan $n \times n$-es mátrix, amelyre $A B = \underline{\underline{0}}$. Igazoljuk, hogy ekkor $B = \underline{\underline{0}}$. (Itt $\underline{\underline{0}}$ azt a mátrixot jelöli, amelynek minden eleme 0.)

  7. A $V$ vektortér két alterének, $V_1$-nek és $V_2$-nek a nullvektor az egyetlen közös eleme. Bizonyítsuk be, hogy $\dim V_1 + \dim V_2 \le \dim V$.

  8. Két játékos A és B egy kétszer kettes tábla mezőibe felváltva ír be valós számokat, amelyek egyike sem lehet nulla. Az A játékos célja, hogy a kialakuló $2 \times 2$-es $M$ mátrix rangja 1 legyen, B pedig azt szeretné elérni, hogy $M$ rangja legyen 2. Tételezzük fel, hogy A is és B is a lehető legjobban játszik. Ki fog nyerni, ha A kezdi a játékot, és ki fog nyerni, ha B kezd?

Zárthelyi feladatok 1999. december 9.

  1. Oldjuk meg az alábbi egyenletet a komplex számok körében! (A $j$ a képzetes egységet jelöli.)

    \begin{displaymath}z(1+j)-{\bar z}(1-j)=2j\end{displaymath}

  2. Mi a primitív tizenkettedik egységgyökök összege?

  3. Mik a sajátértékei az alábbi mátrixnak?

    \begin{displaymath}\left (\begin{array}{ccc}5&0&0\\ 0&1&2\\ 0&1&3\end{array}\right )\end{displaymath}

  4. Bizonyítsuk be, hogy ha az ${\bf A}$ invertálható mátrixnak sajátértéke a $\lambda$ valós szám, akkor $\lambda\neq 0$ és az ${\bf A}$ mátrix ${\bf A^{-1}}$ inverzének sajátértéke lesz az ${1\over \lambda}$ szám.

  5. Legyen az ${\bf A}$ mátrix az ${\bf a}$ oszlopvektor szorzata a transzponáltjával, azaz a vele azonos koordinátákkal bíró ${\bf a}^T$ sorvektorral. (Tehát az ${\bf A}$ mátrix $i$-edik sorának $j$-edik eleme az ${\bf a}$ vektor $i$-edik és $j$-edik koordinátájának szorzata.) Bizonyítsuk be, hogy ${\bf A}$ pozitív szemidefinit mátrix!

  6. Mi a számossága annak a számhalmaznak, melynek elemei azok a számok, melyek felírhatók $a+b\sqrt{k}$ alakban úgy, hogy $k$ pozitív egész, $a$ és $b$ pedig racionális számok?

  7. Nyolc ember szeretne teniszezni három teniszpályán úgy, hogy az egyik pályán párost, a két másikon egyénit játszanak. Hányféleképpen tehetik ezt meg, ha a pályákat különbözőeknek tekintjük, de ugyanazon pálya két térfelét nem különböztetjük meg? (Természetesen az embereket is különbözoeknek tekintjük, és az is számít, hogy a négy páros meccset játszó játékos között ki kinek a partnere.)

  8. Hány különböző olyan körmentes gráf létezik $n$ cimkézett ponton, amelyben az élek száma valamilyen $n-1$-nél kisebb fix $k$ szám és amiben pontosan $n-k-1$ izolált pont van? (Egy csúcsot izolált pontnak nevezünk, ha egyetlen él sem indul ki belőle.)